向量法证明正弦定理资料详情描述

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　　向量法证明正弦定理

　　向量法证明正弦定理

　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　2

　　如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

　　由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

　　在向量等式两边同乘向量j,得·

　　j·AC+CB=j·AB

　　∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

　　=│j││AB│cos(90°-A)

　　∴asinC=csinA

　　∴a/sinA=c/sinC

　　同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

　　c/sinC=b/sinB

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　2步骤1

　　记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

　　∴a+b+c=0

　　则i(a+b+c)

　　=i·a+i·b+i·c

　　=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

　　=-asinC+csinA=0

　　接着得到正弦定理

　　其他

　　步骤2.

　　在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

　　CH=a·sinB

　　CH=b·sinA

　　∴a·sinB=b·sinA

　　得到a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中，

　　b/sinB=c/sinC

　　步骤3.

　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　类似可证其余两个等式。

　　3

　　用向量叉乘表示面积则 s=CB 叉乘 CA=AC 叉乘 AB

　　=> absinC=bcsinA (这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

　　=> a/sinA=c/sinC

　　2011-7-18 17:16 jinren92 | 三级

　　记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理 其他步骤2. 在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,

　　4

　　过三角形ABC 的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB 与向量AD 的夹角为90°-B ，向量AC 与向量AD 的夹角为90°-C ，由于向量AB、向量AC 在向量AD 方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知 向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即 向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以 csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得

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